邢台市育才中学 2017-2018 学年高三（上）第三次月考
数学（理科）
第Ⅰ卷（共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数 z ? 1? 2ai (a ? R) 的虚部为1，则| z |? （ ） 1?i
A． 4
B． 3
C． 2
D．1
2.已知集合 M ? {x | lg x ? 1}, N ? {x | ?5x2 ? 7x ? 6 ? 0} ，则（ ）
A． N ? M
B． CR N ? M
C． M ? (CR N ) ? (0,2]
D． M ? N ? (2,10) ? (??,? 3)
5
3.已知
|
? a
|?
1,|
? b
|?
2
，且
? (b
?
? 2a)
?
? b
，则向量
? a
与
? b
的夹角为（
）
A． ? 6
B． ? 4
C． ? 3
D． ? 2
4.执行如图所示的程序框图，若输入的 x ? ?5 ，则输出的 y ? （ ）
A． 4
B．10
C. 28
D． 30
5.设偶函数 f (x) 的定义域为[?5,5]，且 f (3) ? 0 ，当 x ?[0,5] 时， f (x) 的图象如图所示，
则不等式 e f (x) ? 1 的解集是（ ）
A．(?3,0) ? (3,5]
B．(?3,0) ? (0,3)
C. [?5,?3) ? (3,5]
D．( 0,3)
? y ? 0,
6.设
x,
y
满足约束条件
? ?
x
?
y ?1 ? 0, 则 z
?| x ? 3y | 的最大值为（
）
??x ? y ? 3 ? 0,
A．1
B． 3
C. 5
D． 6
7.如图，长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是边长为1的正方形，高为 2, M、N 分别是四边
形 BB1C1C 和正方形 A1B1C1D1 的中心，则直线 BM 与 DN 的夹角的余弦值是（ ）
A． 3 10 10
B． 7 10 30
C. 5 34 34
D． 10 6
8.在 ?ABC中， AB ? 2，BC ? 10, cos A ? 1 ，则 AB 边上的高等于（ ） 4
A． 3
B． 3 4
C. 3 15 2
D． 3 15 4
9.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 4 3
B． 8 3
C. 16 3
D． 32 3
10.若函数 f (x) ? 4 cos(3x ??)(|? |? ? ) 的图象关于直线 x ? 11? 对称，且当
2
12
x1,
x2
? (?
7? 12
,? ? ), 12
x1 ? x2 时， f (x1) ? f (x2 ) ，则 f (x1 ? x2 ) ? （ ）
A． 2 2
B． ? 2 2
C. 4
D． 2
11.设双曲线 C :
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a
?
0, b
? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,|
F1F2
|? 2c ，过 F2 作
x
轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为
A
，已知
Q(c,
3a 2
),|
F2Q
|?|
F2
A
|
，点
P
是双曲线
C 右支上的动点，且| PF1 | ? | PQ |?
3 2 | F1F2
| 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（
）
A． (1, 7 ) 6
B． ( 10 ,??) 2
C. ( 7 , 10 ) 62
D． (1, 10 ) 2
x
12.已知 ? ? 0 ，若对任意的 x ?(0,??) ，不等式 e? ? ? ln x ? 0 恒成立，则 ? 的最大值为
（）
A． 3
B． e 2
C. e 3
D． e
第Ⅱ卷（共 90 分）
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量
?? a,b
的夹角为
?
,
? a
?
(x,1),|
? b
|?
? 2, c
?
(2,
2
)
，且
? a
//
? c
，则
6
? a
?
? (a
?
? b)
?
．
14.已知 tan(? ?? ) ? 4 cos(2? ?? ),|? |? ? ，则 tan 2? ?
．
2
2
15.设等差数列{an}的公差为 d ，且 a1a2 ? 35,2a4 ? a6 ? 7 ，则 d ?
．
16.已知点 A 是抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 上一点，O 为坐标原点，若 A, B 是以点 M (0,8)
为圆心，| OA| 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 ?ABO为等边三角形，则 p 的
值是
．
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.）
17. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 2,{bn}为等差数列，
b3 ? a2 , b2 ? b6 ? 10 . （1）求数列{an},{bn} 的通项公式； （2）求数列{an (2bn ? 3)} 的前 n 项和Tn .
18. 在锐角 ?ABC中， sin B ? C cos B ? C ? 2 cos B sin C ? 3 .
2
2
2
（1）求角 A ；
（2）若 BC ? 7, AC ? 2 ，求 ?ABC的面积. 19. 已知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,|? |? ? ) 的部分图象如图所示.
2
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）将 f (x) 的图象纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 2 倍，得到 g(x) 的图象.若
g(a) ? 2 5 , a ? (? , 5? ) ，求 cos a 的值.
5
36
20. 如图，在四棱锥 P ? ABCD中，四边形 ABCD是菱形，?PAD? ?BAD，平面 PAD?
平面 ABCD,
AB ? 4, PA ? PD, M 在棱 PD上运动.
（1）当 M 在何处时， PB // 平面 MAC； （2）当 PB // 平面 MAC时，求直线 PC 与平面 MAC所成角的正弦值.
21.
已知
A1
,
A2
分别是焦距为
2
的椭圆
C
:
x a
2 2
?
y2 b2
? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点，P 为椭圆
C
上非顶点的点，直
A1P,
A2 P
线的斜率分别为 k1, k2
，且 k1k2
?
?
3 4
.
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l （与 x 轴不重合）过点 (1,0) 且与椭圆 C 交于 M、N 两点，直线 A1M 与 A2 N 交
于点 S ，试求 S 点的轨迹是否是垂直 x 轴的直线，若是，则求出 S 点的轨迹方程，若不是，
请说明理由.
22.已知函数 f (x) ? x ? ax ? 2b 的图象在点 (e, f (e))处的切线方程为 y ? ?ax ? 3b . ln x
（1）求曲线 y ? x3 ? (b ? e)x2 ? x 在 x ? 2 处的切线方程；
（2）若存在 x ?[e, e2 ] ，满足 f (x) ? 1 ? 2e ，求 a 的取值范围. 9
一、选择题
1-5:DCBAB
二、填空题
6-10:CBDBA
试卷答案
11、12：AD
13. 6 三、解答题
14. 15 7
15. 2
16. 2 3
17.解：（1）当 n ?1 时， a1 ? 2 ，
当 n ? 2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ，即 an ? 2an?1 ，
所以{an}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，即 an ? 2n ，
又 b3 ? a2 ? 4, b2 ? b6 ? 2b4 ? 10 ，所以 bn ? n ?1 .
（2）因为 an (2bn ? 3) ? (2n ?1) ? 2n ，
所以Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ?? ? (2n ?1) ? 2n ，①
2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ，②
由①-②得 ? Tn ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (2n ?1) ? 2n?1 ， 所以Tn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 .
18.解：（1）因为 2sin B ? C cos B ? C ? 2 cos B sin C ? 3 ，
2
2
2
所以 sin(B ? C) ? 2 cos B sin C ? 3 ， 2
则 sin B cosC ? cos B sin C ? 2 cos B sin C ? sin(B ? C) ? 3 ，即 sin A ? 3 ，
2
2
由 ?ABC为锐角三角形得 A ? ? . 3
（2）在 ?ABC中， a ? BC,b ? AC, a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ，即 7 ? 4 ? c2 ? 2? 2c ? 1 ， 2
化简得 c2 ? 2c ? 3 ? 0 ，解得 c ? 3（负根舍去），
所以 S?ABC
?
1 2
bc sin
A
?
33 2
.
19.解：（1）由图可知， A ? 2, 3 T ? 5? ? ? ,?T ? ? ,? ? 2? ? 2 .
4 12 3
?
将点 (5? ,0) 代入 f (x) ? 2sin(2x ??) 得 5? ?? ? k? ，
12
6
又| ? |? ? ,?? ? ? ,? f (x) ? 2sin(2x ? ? ) .
2
6
6
（2） g(x) ? 2sin(x ? ? ) . 6
? g(a) ? 2 5 ,?sin(a ? ? ) ? 5 ，
5
65
又 a ? (? , 5? ),?a ? ? ? (? ,? ),?cos(a ? ? ) ? ? 2
5
.
36
62
6
5
?cos a ? cos(a ? ? ? ? ) ?
3 cos(a ? ? ) ? 1 sin(a ? ? ) ?
5 ? 2 15
.
66 2
62
6
10
20.解：（1）当 M 为 PD中点时，PB // 平面 MAC.?设 AC? BD ? N ，在 ?PBD 中，MN
为中位线，即 MN // PB，又 PB ? 平面 MAC, MN ? 平面 MAC，
?PB// 平面 MAC.
（2）?四边形 ABCD是菱形， ?PAD ? ?BAD, PA ? PD ， ??PAD, ?BAD均为等边三角形. 取 AD的中点 O,?平面 PAD?平面 ABCD,?OP ? 平面 ABCD.以 O 为坐标原点，射线 OA,OB,OP 分别为 x, y, z 轴的正方向建立如图所示的空间坐标系，则
O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2 3,0), C(?4,2 3,0),
D(?2,0,0), P(0,0,2 3), M (?1,0, 3) .
?
?
?
? AC ? (?6,2 3,0), AM ? (?3,0, 3), PC ? (?4,2 3,?2 3) .
设平面
MAC 的法向量为
? m(x,
y,
z)
，则由
? m
?
?? AC, m
?
?
AM
，
得
??m?
?
?
AC
?
?6
x
?
2
? ??
? m
?
?
AM
?
?3x
?
3y ? 0 ，取 x ? 3z ? 0
3
，得
? m
?
(
3,3,3) .
记直线 PC 与平面 MAC所成角为? ，则
??
s in ?
?|
|
m? PC ?? m || PC
|
|?|
?
4? 3 ? 2 3 ?3 ? (?2 16 ?12 ?12 ? 3 ? 9
3)?3 ?9
|?
70 . 35
21.解：（1）设 P(x0 , y0 ) 为椭圆 C
上非顶点的点，? k A1P
? k A2P
?
y02 x02 ? a2
?
?3 4
，又
? x02 a2
?
y02 b2
? 1,
?
a
2
y0 ?
2
x0
2
?
b2 a2
b2 ,? a2
?
3 ，即 b2 4
?
3 a2 ， 4
?c2 ? a2 ? b2 ? 1 a2 ? 1, a2 ? 4,b2 ? 3 ，故椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 .
4
43
（2）当过点 (1,0)
直线 l
斜率不存在时，不妨设
M
(1,
3), N (1,? 2
3) 2
，直线
A1M
的方程是
y
?
1 2
x
? 1 ，直线
A2
N
的方程是
y
?
3 2
x
?
3
，交点为
S1 (4,3)
.若
M
(1,?
3), 2
N (1,
3) 2
，由对
称性可知交点为 S2 (4,?3) .
点 S 在直线 x ? 4 上，
当直线斜率存在时，设 l 的方程为 x ? my ?1，
由
?? ?
x2 4
?
y2 3
? 1 得 (3m2
? 4) y2
? 6my
?9 ? 0 ，
?? x ? my ?1
记
M
( x1 ,
y1 ),
N (x2 ,
y2 )
，则
y1
?
y2
?
? 6m 3m2 ? 4
,
y1 y2
?
?9 3m2 ?
4
.
A1M
的方程是
y
?
y1 x1 ?
2
(x
? 2),
A2 N
的方程是
y
?
y2 x2 ? 2
(x ? 2) ，
由
? ?? ?
y
?y
? ?
y1
x1 ? y2
2
(x ? 2),
得
(x ? 2),
y1 (x ? x1 ? 2
2)
?
y2 (x ? 2) ， x2 ? 2
?? x2 ? 2
即 x ? 2 ? y2 (x1 ? 2) ? y1(x2 ? 2) ? 2 ? y2 (my1 ? 3) ? y1(my2 ? 2) ? 2 ? 2my1 y2 ? 3y2 ? y1
y2 (x1 ? 2) ? y1(x2 ? 2)
y2 (my1 ? 2) ? y1(my2 ? 2)
3y2 ? y1
?
2?
2m ?
?9 3m2 ?
4
?
3(
? 3m
6m 2 ?4
?
y1 )
?
y1
?
4.
3(
? 6m 3m2 ? 4
?
y1 )
?
y1
综上所述，点 S 的轨迹方程为 x ? 4 .
22.解：（1）由 f (e) ? e ? ae ? 2b ? ?ae ? 3e ，得 b ? e .
所以 y ? x3 ? x, y? ? 3x2 ?1，则 y? |x?2 ? 13 ，故所求切线方程为 y ? (8 ? 2) ? 13(x ? 2) ，
即 y ? 13x ?16 .
（2） f (x) ? 1 ? 2e ，即 x ? ax ? 2e ? 1 ? 2e ，
9
ln x
9
所以问题转化为 a ? x ? 1 在[e, e2 ] 上有解. ln x 9x
令 h(x) ? x ? 1 , x ?[e, e2 ] ， ln x 9x
则 h?(x) ?
?1 x(ln x)2
?
1 9x2
?
(ln x)2 ? 9x 9x2 (ln x)2
?
(ln x ? 3 x)(ln x ? 3 9x2 (ln x)2
x) .
因为 e ? x ? e2 ，
所以1 ? ln x ? 2,?3e ? ?3 x ? ?3 e ，
从而 ln x ? 3 x ? 2 ? 3 e ? 2 ? 3 ? 0, ln x ? 3 x ? 0 ，
所以 h?(x) ? 0 ，即函数 h(x) ? 1 ? 1 在[e, e2 ] 上递减， ln x 9x
因此， h(x)min
?
h(e2 )
?
1 2
?
1 9e2
，
要使 a
?
1 ln x
?
1 9x
在[e, e2 ] 上有解，必须有 a
?
h( x) m in
，即 a
?
1 2
?
1 9e2
，
所以
a
的取值范围为[ 1 2
?
1 9e2
,??] .