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河北省邢台市育才中学2018届高三上学期第三次月考数学(理)试题 Word版含答案

发布时间:

邢台市育才中学 2017-2018 学年高三(上)第三次月考

数学(理科)

第Ⅰ卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选

项中,只有一项是符合题目要求的.

1.若复数 z ? 1? 2ai (a ? R) 的虚部为1,则| z |? ( ) 1?i

A. 4

B. 3

C. 2

D.1

2.已知集合 M ? {x | lg x ? 1}, N ? {x | ?5x2 ? 7x ? 6 ? 0} ,则( )

A. N ? M

B. CR N ? M

C. M ? (CR N ) ? (0,2]

D. M ? N ? (2,10) ? (??,? 3)

5

3.已知

|

? a

|?

1,|

? b

|?

2

,且

? (b

?

? 2a)

?

? b

,则向量

? a



? b

的夹角为(



A. ? 6

B. ? 4

C. ? 3

D. ? 2

4.执行如图所示的程序框图,若输入的 x ? ?5 ,则输出的 y ? ( )

A. 4

B.10

C. 28

D. 30

5.设偶函数 f (x) 的定义域为[?5,5],且 f (3) ? 0 ,当 x ?[0,5] 时, f (x) 的图象如图所示,

则不等式 e f (x) ? 1 的解集是( )

A.(?3,0) ? (3,5]

B.(?3,0) ? (0,3)

C. [?5,?3) ? (3,5]

D.( 0,3)

? y ? 0,

6.设

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y ?1 ? 0, 则 z

?| x ? 3y | 的最大值为(



??x ? y ? 3 ? 0,

A.1

B. 3

C. 5

D. 6

7.如图,长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面是边长为1的正方形,高为 2, M、N 分别是四边

形 BB1C1C 和正方形 A1B1C1D1 的中心,则直线 BM 与 DN 的夹角的余弦值是( )

A. 3 10 10

B. 7 10 30

C. 5 34 34

D. 10 6

8.在 ?ABC中, AB ? 2,BC ? 10, cos A ? 1 ,则 AB 边上的高等于( ) 4

A. 3

B. 3 4

C. 3 15 2

D. 3 15 4

9.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 4 3

B. 8 3

C. 16 3

D. 32 3

10.若函数 f (x) ? 4 cos(3x ??)(|? |? ? ) 的图象关于直线 x ? 11? 对称,且当

2

12

x1,

x2

? (?

7? 12

,? ? ), 12

x1 ? x2 时, f (x1) ? f (x2 ) ,则 f (x1 ? x2 ) ? ( )

A. 2 2

B. ? 2 2

C. 4

D. 2

11.设双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?

0, b

? 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2 ,|

F1F2

|? 2c ,过 F2 作

x

轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为

A

,已知

Q(c,

3a 2

),|

F2Q

|?|

F2

A

|

,点

P

是双曲线

C 右支上的动点,且| PF1 | ? | PQ |?

3 2 | F1F2

| 恒成立,则双曲线的离心率的取值范围是(



A. (1, 7 ) 6

B. ( 10 ,??) 2

C. ( 7 , 10 ) 62

D. (1, 10 ) 2

x
12.已知 ? ? 0 ,若对任意的 x ?(0,??) ,不等式 e? ? ? ln x ? 0 恒成立,则 ? 的最大值为

()
A. 3

B. e 2

C. e 3

D. e

第Ⅱ卷(共 90 分)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)

13.已知向量

?? a,b

的夹角为

?

,

? a

?

(x,1),|

? b

|?

? 2, c

?

(2,

2

)

,且

? a

//

? c

,则

6

? a

?

? (a

?

? b)

?



14.已知 tan(? ?? ) ? 4 cos(2? ?? ),|? |? ? ,则 tan 2? ?



2

2

15.设等差数列{an}的公差为 d ,且 a1a2 ? 35,2a4 ? a6 ? 7 ,则 d ?



16.已知点 A 是抛物线 C : x2 ? 2 py( p ? 0) 上一点,O 为坐标原点,若 A, B 是以点 M (0,8)

为圆心,| OA| 的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点,且 ?ABO为等边三角形,则 p 的

值是



三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.)

17. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 2,{bn}为等差数列,

b3 ? a2 , b2 ? b6 ? 10 . (1)求数列{an},{bn} 的通项公式; (2)求数列{an (2bn ? 3)} 的前 n 项和Tn .

18. 在锐角 ?ABC中, sin B ? C cos B ? C ? 2 cos B sin C ? 3 .

2

2

2

(1)求角 A ;

(2)若 BC ? 7, AC ? 2 ,求 ?ABC的面积. 19. 已知函数 f (x) ? Asin(?x ??)(A ? 0,? ? 0,|? |? ? ) 的部分图象如图所示.
2

(1)求函数 f (x) 的解析式;

(2)将 f (x) 的图象纵坐标不变,横坐标伸长到原来的 2 倍,得到 g(x) 的图象.若

g(a) ? 2 5 , a ? (? , 5? ) ,求 cos a 的值.

5

36

20. 如图,在四棱锥 P ? ABCD中,四边形 ABCD是菱形,?PAD? ?BAD,平面 PAD?

平面 ABCD,

AB ? 4, PA ? PD, M 在棱 PD上运动.

(1)当 M 在何处时, PB // 平面 MAC; (2)当 PB // 平面 MAC时,求直线 PC 与平面 MAC所成角的正弦值.

21.

已知

A1

,

A2

分别是焦距为

2

的椭圆

C

:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,P 为椭圆

C

上非顶点的点,直

A1P,

A2 P

线的斜率分别为 k1, k2

,且 k1k2

?

?

3 4

.

(1)求椭圆 C 的方程;

(2)直线 l (与 x 轴不重合)过点 (1,0) 且与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 A1M 与 A2 N 交

于点 S ,试求 S 点的轨迹是否是垂直 x 轴的直线,若是,则求出 S 点的轨迹方程,若不是,
请说明理由.
22.已知函数 f (x) ? x ? ax ? 2b 的图象在点 (e, f (e))处的切线方程为 y ? ?ax ? 3b . ln x
(1)求曲线 y ? x3 ? (b ? e)x2 ? x 在 x ? 2 处的切线方程;

(2)若存在 x ?[e, e2 ] ,满足 f (x) ? 1 ? 2e ,求 a 的取值范围. 9

一、选择题
1-5:DCBAB
二、填空题

6-10:CBDBA

试卷答案
11、12:AD

13. 6 三、解答题

14. 15 7

15. 2

16. 2 3

17.解:(1)当 n ?1 时, a1 ? 2 ,

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1 ,即 an ? 2an?1 ,

所以{an}是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列,即 an ? 2n ,

又 b3 ? a2 ? 4, b2 ? b6 ? 2b4 ? 10 ,所以 bn ? n ?1 .

(2)因为 an (2bn ? 3) ? (2n ?1) ? 2n ,

所以Tn ? 1? 2 ? 3? 22 ? 5? 23 ?? ? (2n ?1) ? 2n ,①

2Tn ? 1? 22 ? 3? 23 ? ? ? (2n ? 3) ? 2n ? (2n ?1) ? 2n?1 ,②

由①-②得 ? Tn ? 2 ? 2(22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? (2n ?1) ? 2n?1 , 所以Tn ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 .

18.解:(1)因为 2sin B ? C cos B ? C ? 2 cos B sin C ? 3 ,

2

2

2

所以 sin(B ? C) ? 2 cos B sin C ? 3 , 2

则 sin B cosC ? cos B sin C ? 2 cos B sin C ? sin(B ? C) ? 3 ,即 sin A ? 3 ,

2

2

由 ?ABC为锐角三角形得 A ? ? . 3
(2)在 ?ABC中, a ? BC,b ? AC, a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ,即 7 ? 4 ? c2 ? 2? 2c ? 1 , 2

化简得 c2 ? 2c ? 3 ? 0 ,解得 c ? 3(负根舍去),

所以 S?ABC

?

1 2

bc sin

A

?

33 2

.

19.解:(1)由图可知, A ? 2, 3 T ? 5? ? ? ,?T ? ? ,? ? 2? ? 2 .

4 12 3

?

将点 (5? ,0) 代入 f (x) ? 2sin(2x ??) 得 5? ?? ? k? ,

12

6

又| ? |? ? ,?? ? ? ,? f (x) ? 2sin(2x ? ? ) .

2

6

6

(2) g(x) ? 2sin(x ? ? ) . 6

? g(a) ? 2 5 ,?sin(a ? ? ) ? 5 ,

5

65

又 a ? (? , 5? ),?a ? ? ? (? ,? ),?cos(a ? ? ) ? ? 2

5
.

36

62

6

5

?cos a ? cos(a ? ? ? ? ) ?

3 cos(a ? ? ) ? 1 sin(a ? ? ) ?

5 ? 2 15
.

66 2

62

6

10

20.解:(1)当 M 为 PD中点时,PB // 平面 MAC.?设 AC? BD ? N ,在 ?PBD 中,MN

为中位线,即 MN // PB,又 PB ? 平面 MAC, MN ? 平面 MAC,

?PB// 平面 MAC.

(2)?四边形 ABCD是菱形, ?PAD ? ?BAD, PA ? PD , ??PAD, ?BAD均为等边三角形. 取 AD的中点 O,?平面 PAD?平面 ABCD,?OP ? 平面 ABCD.以 O 为坐标原点,射线 OA,OB,OP 分别为 x, y, z 轴的正方向建立如图所示的空间坐标系,则

O(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2 3,0), C(?4,2 3,0),

D(?2,0,0), P(0,0,2 3), M (?1,0, 3) .

?

?

?

? AC ? (?6,2 3,0), AM ? (?3,0, 3), PC ? (?4,2 3,?2 3) .

设平面

MAC 的法向量为

? m(x,

y,

z)

,则由

? m

?

?? AC, m

?

?
AM





??m?

?

?
AC

?

?6

x

?

2

? ??

? m

?

?
AM

?

?3x

?

3y ? 0 ,取 x ? 3z ? 0

3

,得

? m

?

(

3,3,3) .

记直线 PC 与平面 MAC所成角为? ,则

??

s in ?

?|

|

m? PC ?? m || PC

|

|?|

?

4? 3 ? 2 3 ?3 ? (?2 16 ?12 ?12 ? 3 ? 9

3)?3 ?9

|?

70 . 35

21.解:(1)设 P(x0 , y0 ) 为椭圆 C

上非顶点的点,? k A1P

? k A2P

?

y02 x02 ? a2

?

?3 4

,又

? x02 a2

?

y02 b2

? 1,

?

a

2

y0 ?

2
x0

2

?

b2 a2

b2 ,? a2

?

3 ,即 b2 4

?

3 a2 , 4

?c2 ? a2 ? b2 ? 1 a2 ? 1, a2 ? 4,b2 ? 3 ,故椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 .

4

43

(2)当过点 (1,0)

直线 l

斜率不存在时,不妨设

M

(1,

3), N (1,? 2

3) 2

,直线

A1M

的方程是

y

?

1 2

x

? 1 ,直线

A2

N

的方程是

y

?

3 2

x

?

3

,交点为

S1 (4,3)

.若

M

(1,?

3), 2

N (1,

3) 2

,由对

称性可知交点为 S2 (4,?3) .

点 S 在直线 x ? 4 上,

当直线斜率存在时,设 l 的方程为 x ? my ?1,



?? ?

x2 4

?

y2 3

? 1 得 (3m2

? 4) y2

? 6my

?9 ? 0 ,

?? x ? my ?1



M

( x1 ,

y1 ),

N (x2 ,

y2 )

,则

y1

?

y2

?

? 6m 3m2 ? 4

,

y1 y2

?

?9 3m2 ?

4

.

A1M

的方程是

y

?

y1 x1 ?

2

(x

? 2),

A2 N

的方程是

y

?

y2 x2 ? 2

(x ? 2) ,



? ?? ?

y

?y

? ?

y1
x1 ? y2

2

(x ? 2),

(x ? 2),

y1 (x ? x1 ? 2

2)

?

y2 (x ? 2) , x2 ? 2

?? x2 ? 2

即 x ? 2 ? y2 (x1 ? 2) ? y1(x2 ? 2) ? 2 ? y2 (my1 ? 3) ? y1(my2 ? 2) ? 2 ? 2my1 y2 ? 3y2 ? y1

y2 (x1 ? 2) ? y1(x2 ? 2)

y2 (my1 ? 2) ? y1(my2 ? 2)

3y2 ? y1

?

2?

2m ?

?9 3m2 ?

4

?

3(

? 3m

6m 2 ?4

?

y1 )

?

y1

?

4.

3(

? 6m 3m2 ? 4

?

y1 )

?

y1

综上所述,点 S 的轨迹方程为 x ? 4 .

22.解:(1)由 f (e) ? e ? ae ? 2b ? ?ae ? 3e ,得 b ? e .

所以 y ? x3 ? x, y? ? 3x2 ?1,则 y? |x?2 ? 13 ,故所求切线方程为 y ? (8 ? 2) ? 13(x ? 2) ,

即 y ? 13x ?16 .

(2) f (x) ? 1 ? 2e ,即 x ? ax ? 2e ? 1 ? 2e ,

9

ln x

9

所以问题转化为 a ? x ? 1 在[e, e2 ] 上有解. ln x 9x

令 h(x) ? x ? 1 , x ?[e, e2 ] , ln x 9x

则 h?(x) ?

?1 x(ln x)2

?

1 9x2

?

(ln x)2 ? 9x 9x2 (ln x)2

?

(ln x ? 3 x)(ln x ? 3 9x2 (ln x)2

x) .

因为 e ? x ? e2 ,

所以1 ? ln x ? 2,?3e ? ?3 x ? ?3 e ,

从而 ln x ? 3 x ? 2 ? 3 e ? 2 ? 3 ? 0, ln x ? 3 x ? 0 ,

所以 h?(x) ? 0 ,即函数 h(x) ? 1 ? 1 在[e, e2 ] 上递减, ln x 9x

因此, h(x)min

?

h(e2 )

?

1 2

?

1 9e2



要使 a

?

1 ln x

?

1 9x

在[e, e2 ] 上有解,必须有 a

?

h( x) m in

,即 a

?

1 2

?

1 9e2



所以

a

的取值范围为[ 1 2

?

1 9e2

,??] .



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