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河北省承德市第一中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题理

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河北省承德市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 理

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4

页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一. 选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有

一项是符合题目要求的, 将正确答案选项涂在答题卡上)

1.在复平面内,复数 z ? 2i ( i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ) 1?i

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

2.直线

l

错误!未找到引用源。的参数方程为

?x ?

?

?

3t 错误!未找到引用源。(t 为参数),

? y ? 1? 3t

则 l 的倾斜角大小为( )

A?

B?

C 2?

D 5?

6

3

3

6

3.在极坐标系中,圆 ? ? 2cos? ? 2sin? 的圆心的极坐标是( )

A. (1, ? ) 2

B. (1, ? ) 4

C. ( 2, ? ) 4

4.直线 y ? 2x ? 1的参数方程可以是( )

D. ( 2, ? ) 2

A.

? ? ?

y

x ?

? t2 2t 2 ?

1

B.

? ? ?

x y

? ?

2t 4t

?1 ?1

C.

? ? ?

x ? t ?1 y ? 2t ?1

D.

? ? ?

y

x ?

? sin? 2sin? ?1

?

5.在直线坐标系

xOy

中,过点

P(

-

1, 2)

的直线

l

的参数方程为

??x ?

?

?1 ?

2t 2 ( t 为参数),直

? ??

y

?

2

?

2t 2

线 l 与抛物线 y = x2 交于点 A , B ,则 PA × PB 的值为( )

A. 2

B.2

C. 3 2

D.10

6.欲将方程 x2 ? y2 ? 1所对应的图形变成方程 x2 ? y2 ? 1 所对应的图形,需经过伸缩变换? 为 43
()

??x? ? 2x

A.

? ??

y?

?

3y

B.

? ?? ?

x?

?

1 2

x

? ??

y?

?

3y 3

?x? ? 4x

C.

? ?

y?

?

3

y

7.极坐标方程 ? cos? ? 2sin 2? 表示的曲线为( )

D.

?
?? ? ? ??

x? y?

? ?

1 4 1 3

x y

A.一条射线和一个圆 B.两条直线 C.一条直线和一个圆 D.一个圆

8.用数学归纳法证明“2n>n2+1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0 应取( )

A.2

B.3

C.5

D.6

9.函数 f ? x? ? ex 的单调递减区间是( )
x

A.(-∞,1)

B.(-∞,0)和(0,1)

C. (-∞,0)

D.(0,1)

10.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合.曲线 C 的参数方

程为

?x ??y

? ?

3 2

cos sin

? ?

(φ

为参数),直线 l 的极坐标方程是 ρ

(cosθ

+2sinθ

)=15.若点 P、Q

分别是曲线 C 和直线 l 上的动点,则 P、Q 两点之间距离的最小值是( )

A. 10

B.2 3

C.2 5

11.函数 y=(3x2+2x)ex 的图象大致是(



D. 21

A.

B.

C.

D.

? ? 12.若函数 f ? x? ? ex ? e?x ? sin 2x ,则满足 f 2x2 ?1 ? f ? x? ? 0 的 x 的取值范围为( )

A.

? ??

?1,1 2

? ??

B.

?

??,?

1?

?

? ??

1 2

,?

?

? ??

C.

? ??

?

1 2

,1???

D.

? ??

??,?

1 2

? ??

?

?1,?

?

?

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.设 z ? (2 ? i)2 ( i 为虚数单位),则复数 z 的模为

14.在极坐标系

中,点

? ??

2,

π 6

? ??

到直线

?

(cos?

?

3 sin? ) ?

3 的距离为__________.

? 15. 2 (x2 ? 2 x)dx ?

0

3



16. 奇 函 数 f ? x? 定 义 域 为 ??? , 0? U? 0?, ? , 其 导 函 数 是 f ?? x? . 当 0 ? x ? ? 时 , 有

f ?? x?s i n x? f? ?x cos?x

0, 则 关 于 x 的 不 等 式 f ? x? ?

2

f

? ??

? 4

? ??

sin

x

的解集





三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分 10 分)

求实数 m 的值,使复数 z ? 2m2 ? 3m ? 2 ? (m2 ? 3m ? 2)i 分别是:

(1)实数

(2)纯虚数

18. (本小题满分 12 分)

在极坐标系中,极点为 O

,已知曲线 C1



?

?

2

与曲线 C2



?

sin(?

?

? 4

)

?

2, 交于不同的

两点 A, B .

(1)求 AB 的值;

(2)求过点 C(1,0) 且与直线 AB 平行的直线 l 的极坐标方程.
19.(本小题满分 12 分)

在直角坐标系 xOy 中, 过点 P( 3 , 3) 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 22
不同的两点 M , N .

(1) 写出直线 l 的参数方程; (2) 求 1 ? 1 的取值范围.
PM PN
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 5x ? 5(a 为常数)的一个极值点为 ?1. (1)求实数 a 的值; (2)求 f (x) 在区间[-2,2]上的最大值

21.(本小题满分 12 分)
函数 f (x) ? ax3 ? x2 ? bx 的单调减区间为( ? 2 ,0) 3
(1)求 a, b 的值;
(2)求过点 P(0,0)且与 f(x)相切的直线方程。

22. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? x2 ln x, g ?x? ? ?x2 ? ax ?3?a ?R?.

(1)试确定 t 的取值范围,使得函数 f ? x? 在(0,t]上是单调函数;

(2)若存在两个不等实数

x1,

x2

?

? ??

1 e

,

e

? ??

,其中

e

为自然对数的底数,使得方程

g

?

x?

?

2

f?
x

x?

成立,求实数 a 的取值范围.

试卷答案

1.A 2.C 错误!未找到引用源。

本题考查直线的参数方程及倾斜角.



可以得到直线的方程为错误!未找到引用源。.

错误!未找到引用源。

所以直线的斜率为错误!未找到引用源。,倾斜角为

,故选 C 错误!未

错误!未找到引用源。

找到引用源。.

3.C 4 .C 5.B 6.B 7.C 8.C

9.B 由题得

,令

,所以 x<1,因为 x≠0,所以 x<1,且 x≠0,

所以函数的单调减区间为

和 ,故选 B.

10.C【解答】解:设 P(3cosφ ,2sinφ )(φ 为参数),

直线 l 的极坐标方程是 ρ (cosθ +2sinθ )=15 化为普通方程:x+2y﹣15=0.

则点 P 到直线 l 的距离 d=

=



=2 ,当且仅当 sin(φ +θ )=1 时取等号

11.A 由 f ? x? 的解析式知只有两个零点 x ? ? 2 与 x ? 0 ,排除 B;又 f ?? x? ? ?3x2 ? 8x ? 2?e x ,
3
由 f ?? x? ? 0 知函数有两个极值点,排除 C,D,故选 A.

12.B

13.5 Z ? 3 ? 4i, Z ? 32 ? ??4?2 =5

3 14. 2

直角坐标系中,直线方程为 x ?

3y ?

3

,点坐标为

? ??

2

cos

π 6

,

2

sin

π 6

? ??

?

(

3,1) ,

到直线距离 d ? |

3?

3?

3| ?

3 .

12 ? ( 3)2

2

15. 4

16.

3



,则

,由条件得当

时,



∴函数 g(x)在 上单调递减.又函数 g(x)为偶函数,∴函数 g(x)在 上单调递增.

①当

时,

,不等式

可化为

,∴



②当

时,

,,不等式

综上可得不等式的解集为



17.(1) m ? 1或2 ;(2) ? 1 ; 2

可化为

,∴



18.解:(1)设

A(

?,?1),

B(

?,?2

),?1,?2

??0,

2?

?

,则

sin(?1

?

? 4

)

?

2 2

, sin(? 2

?

? 4

)

?

2, 2

?1,?2 ??0, 2? ?,? ?1 ??2

?? 2

,即 ?AOB ? ? 2

,又 OA

?

OB

? 2,?

AB

?2

2

(2)设点 P(?,? ) 为直线 l 上任一点,因为直线 AB 与极轴成 ? 的角, 4

则 ?PCO ? 3? 或 ?PCO ? ? ,当 ?PCO ? 3? 时

4

4

4

在 ?POC 中, OP ? ?, OC ? 1,?POC ? ? ,?PCO ? 3? ,?OPC ? ? ?? ,

4

4

由正弦定理可知: 1 sin(? ?? )

?

? sin ?

,即? sin(? 4

?? )

?

2, 2

4

4

即直线 l 的极坐标方程为:

?

? sin(

??) ?

2 .同理,当 ?PCO ? ? 极坐 标方程也为

4

2

4

? sin(? ?? ) ? 2 当 P 在点 C 时显然满足 ? sin(? ?? ) ? 2

4

2

4

2

19.(Ⅰ)

?

??x ? ?

? ??

y?

3 ? t cos? 2 3 ? t sin? 2

(t 为参数)

(Ⅱ)

?

??x ? ?

? ??

y?

3 ? t cos? 2 3 ? t sin? 2

(t 为参数)代入 x 2 ? y 2 ? 1 ,得

t 2 ? ( 3 cos? ? 3sin ? )t ? 2 ? 0 , ? ? 0 ? sin(? ? ? ) ? 6 63

? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? t1 ? t2 ? ( 3 cos? ? 3sin?) ? 3 sin(? ? ? ) ? 2, 3

PM PN t1 t2 t1t2

2

6

20 .(I)因为 f (x) ? x3 ? ax2 ? 5x ? 5 ,所以 f ?(x) ? 3x2 ? 2ax ? 5 ,

因为 f (x) 在 x ? ?1 处取得极值,所以 f ?(?1) ? 3 ? 2a ? 5 ? 0 ,所以 a ?1.……………5 分

(II)由(I)可得 f (x) ? x3 ? x2 ? 5x ? 5 , f ?(x) ? 3x2 ? 2x ? 5 ? (3x ? 5)(x ?1) ,

令 f ?(x) ? 0 ,得 x ? ?1 ,或 x ? 5 .………………………… ………………………………6 分 3
当 x ? ?1,或 x ? 5 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递增; 3
当 ?1 ? x ? 5 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 单调递减. ……………………………………………8 分 3
又 f (?1) ? ?1?1? 5 ? 5 ? 8, f (2) ? 8 ? 4 ?10 ? 5 ? ?1,

所以在区间[?2, 2] 上的最大值为 8 . ………………………………………………………12 分

21.

(1)f (x )的定义域为R

依题意f ?(x ) = 3ax 2 + 2x + b < 0的解集为(- 2 , 0)L L L 2分 3

由一元二次不等式的知识,有

ì???????í?????????

3a > 0
- 2+ 0 3
- 2? 0 3

=

- 2L 3a
b
3a

L

L

4分

解得a = 1,b = 0L L L 5分

(2)由(1)知f (x ) = x 3 + x 2,设切点为Q(m, m 3 + m 2), 切线斜率为k

k = f ?(m ) = 3m 2 + 2m L L L 7分

\ 切线方程为y - (m 3 + m 2) = (3m 2 + 2m )(x - m )L L L 8分

将P (0,0)代入得 - (m 3 + m 2) = - m (3m 2 + 2m )

解之得m = 0或m = - 1 ,L L L 10分 2
代入切线方程得y = 0或x + 4y = 0L L L 12分

22



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