河北省承德市第一中学 2018-2019 学年高二数学下学期期中试题 理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4
页。全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一. 选择题：(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的， 将正确答案选项涂在答题卡上)
1.在复平面内，复数 z ? 2i （ i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ） 1?i
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.直线
l
错误！未找到引用源。的参数方程为
?x ?
?
?
3t 错误！未找到引用源。(t 为参数),
? y ? 1? 3t
则 l 的倾斜角大小为( )
A?
B?
C 2?
D 5?
6
3
3
6
3.在极坐标系中，圆 ? ? 2cos? ? 2sin? 的圆心的极坐标是( )
A. (1, ? ) 2
B. (1, ? ) 4
C. ( 2, ? ) 4
4.直线 y ? 2x ? 1的参数方程可以是（ ）
D. ( 2, ? ) 2
A．
? ? ?
y
x ?
? t2 2t 2 ?
1
B．
? ? ?
x y
? ?
2t 4t
?1 ?1
C．
? ? ?
x ? t ?1 y ? 2t ?1
D．
? ? ?
y
x ?
? sin? 2sin? ?1
?
5.在直线坐标系
xOy
中，过点
P(
-
1, 2)
的直线
l
的参数方程为
??x ?
?
?1 ?
2t 2 ( t 为参数)，直
? ??
y
?
2
?
2t 2
线 l 与抛物线 y = x2 交于点 A ， B ，则 PA × PB 的值为( )
A． 2
B．2
C. 3 2
D．10
6.欲将方程 x2 ? y2 ? 1所对应的图形变成方程 x2 ? y2 ? 1 所对应的图形，需经过伸缩变换? 为 43
（）
??x? ? 2x
A.
? ??
y?
?
3y
B.
? ?? ?
x?
?
1 2
x
? ??
y?
?
3y 3
?x? ? 4x
C.
? ?
y?
?
3
y
7.极坐标方程 ? cos? ? 2sin 2? 表示的曲线为（ ）
D.
?
?? ? ? ??
x? y?
? ?
1 4 1 3
x y
A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆
8.用数学归纳法证明“2n>n2＋1 对于 n≥n0 的正整数 n 都成立”时,第一步证明中的起始值 n0 应取( )
A．2
B．3
C．5
D．6
9.函数 f ? x? ? ex 的单调递减区间是( )
x
A．(－∞,1)
B．(－∞,0)和(0,1)
C. (－∞,0)
D．(0,1)
10.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点 O 处，极轴与 x 轴的正半轴重合．曲线 C 的参数方
程为
?x ??y
? ?
3 2
cos sin
? ?
（φ
为参数），直线 l 的极坐标方程是 ρ
（cosθ
+2sinθ
）=15．若点 P、Q
分别是曲线 C 和直线 l 上的动点，则 P、Q 两点之间距离的最小值是（ ）
A． 10
B．2 3
C．2 5
11.函数 y=(3x2+2x)ex 的图象大致是（
）
D． 21
A.
B.
C.
D.
? ? 12.若函数 f ? x? ? ex ? e?x ? sin 2x ，则满足 f 2x2 ?1 ? f ? x? ? 0 的 x 的取值范围为( )
A．
? ??
?1，1 2
? ??
B．
?
??，?
1?
?
? ??
1 2
，?
?
? ??
C．
? ??
?
1 2
，1???
D．
? ??
??，?
1 2
? ??
?
?1，?
?
?
第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13.设 z ? (2 ? i)2 （ i 为虚数单位），则复数 z 的模为
14.在极坐标系
中，点
? ??
2,
π 6
? ??
到直线
?
(cos?
?
3 sin? ) ?
3 的距离为__________．
? 15. 2 (x2 ? 2 x)dx ?
0
3
．
16. 奇 函 数 f ? x? 定 义 域 为 ??? , 0? U? 0?, ? ， 其 导 函 数 是 f ?? x? . 当 0 ? x ? ? 时 ， 有
f ?? x?s i n x? f? ?x cos?x
0， 则 关 于 x 的 不 等 式 f ? x? ?
2
f
? ??
? 4
? ??
sin
x
的解集
为
．
三、解答题：(本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 10 分)
求实数 m 的值，使复数 z ? 2m2 ? 3m ? 2 ? (m2 ? 3m ? 2)i 分别是：
（1）实数
（2）纯虚数
18. (本小题满分 12 分)
在极坐标系中，极点为 O
，已知曲线 C1
：
?
?
2
与曲线 C2
：
?
sin(?
?
? 4
)
?
2, 交于不同的
两点 A, B ．
（1）求 AB 的值；
（2）求过点 C(1,0) 且与直线 AB 平行的直线 l 的极坐标方程．
19.(本小题满分 12 分)
在直角坐标系 xOy 中, 过点 P( 3 , 3) 作倾斜角为 ? 的直线 l 与曲线 C : x 2 ? y 2 ? 1 相交于 22
不同的两点 M , N .
(1) 写出直线 l 的参数方程; (2) 求 1 ? 1 的取值范围.
PM PN
20.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? x3 ? ax2 ? 5x ? 5(a 为常数)的一个极值点为 ?1. (1)求实数 a 的值; (2)求 f (x) 在区间[-2,2]上的最大值
21.(本小题满分 12 分)
函数 f (x) ? ax3 ? x2 ? bx 的单调减区间为( ? 2 ，0) 3
（1）求 a, b 的值；
（2）求过点 P(0，0)且与 f(x)相切的直线方程。
22. (本小题满分 12 分)
已知函数 f ? x? ? x2 ln x, g ?x? ? ?x2 ? ax ?3?a ?R?.
（1）试确定 t 的取值范围，使得函数 f ? x? 在(0,t]上是单调函数；
（2）若存在两个不等实数
x1,
x2
?
? ??
1 e
,
e
? ??
，其中
e
为自然对数的底数，使得方程
g
?
x?
?
2
f?
x
x?
成立，求实数 a 的取值范围.
试卷答案
1.A 2.C 错误！未找到引用源。
本题考查直线的参数方程及倾斜角.
由
可以得到直线的方程为错误！未找到引用源。.
错误！未找到引用源。
所以直线的斜率为错误！未找到引用源。,倾斜角为
,故选 C 错误！未
错误！未找到引用源。
找到引用源。.
3.C 4 .C 5.B 6.B 7.C 8.C
9.B 由题得
，令
，所以 x<1,因为 x≠0，所以 x＜1，且 x≠0，
所以函数的单调减区间为
和 ，故选 B.
10.C【解答】解：设 P（3cosφ ，2sinφ ）（φ 为参数），
直线 l 的极坐标方程是 ρ （cosθ +2sinθ ）=15 化为普通方程：x+2y﹣15=0．
则点 P 到直线 l 的距离 d=
=
≥
=2 ，当且仅当 sin（φ +θ ）=1 时取等号
11.A 由 f ? x? 的解析式知只有两个零点 x ? ? 2 与 x ? 0 ，排除 B；又 f ?? x? ? ?3x2 ? 8x ? 2?e x ，
3
由 f ?? x? ? 0 知函数有两个极值点，排除 C，D，故选 A．
12.B
13.5 Z ? 3 ? 4i, Z ? 32 ? ??4?2 =5
3 14. 2
直角坐标系中，直线方程为 x ?
3y ?
3
，点坐标为
? ??
2
cos
π 6
,
2
sin
π 6
? ??
?
(
3,1) ，
到直线距离 d ? |
3?
3?
3| ?
3 ．
12 ? ( 3)2
2
15. 4
16.
3
令
，则
，由条件得当
时，
，
∴函数 g(x)在 上单调递减．又函数 g(x)为偶函数，∴函数 g(x)在 上单调递增．
①当
时，
，不等式
可化为
，∴
；
②当
时，
，，不等式
综上可得不等式的解集为
．
17.（1） m ? 1或2 ；（2） ? 1 ; 2
可化为
，∴
．
18.解：（1）设
A(
?,?1),
B(
?,?2
),?1,?2
??0,
2?
?
，则
sin(?1
?
? 4
)
?
2 2
, sin(? 2
?
? 4
)
?
2， 2
?1,?2 ??0, 2? ?,? ?1 ??2
?? 2
，即 ?AOB ? ? 2
，又 OA
?
OB
? 2,?
AB
?2
2
（2）设点 P(?,? ) 为直线 l 上任一点，因为直线 AB 与极轴成 ? 的角， 4
则 ?PCO ? 3? 或 ?PCO ? ? ，当 ?PCO ? 3? 时
4
4
4
在 ?POC 中， OP ? ?, OC ? 1,?POC ? ? ,?PCO ? 3? ,?OPC ? ? ?? ，
4
4
由正弦定理可知： 1 sin(? ?? )
?
? sin ?
,即? sin(? 4
?? )
?
2， 2
4
4
即直线 l 的极坐标方程为：
?
? sin(
??) ?
2 ．同理，当 ?PCO ? ? 极坐 标方程也为
4
2
4
? sin(? ?? ) ? 2 当 P 在点 C 时显然满足 ? sin(? ?? ) ? 2
4
2
4
2
19.（Ⅰ）
?
??x ? ?
? ??
y?
3 ? t cos? 2 3 ? t sin? 2
(t 为参数）
（Ⅱ）
?
??x ? ?
? ??
y?
3 ? t cos? 2 3 ? t sin? 2
(t 为参数）代入 x 2 ? y 2 ? 1 ，得
t 2 ? ( 3 cos? ? 3sin ? )t ? 2 ? 0 ， ? ? 0 ? sin(? ? ? ) ? 6 63
? ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? t1 ? t2 ? ( 3 cos? ? 3sin?) ? 3 sin(? ? ? ) ? 2, 3
PM PN t1 t2 t1t2
2
6
20 .（I）因为 f (x) ? x3 ? ax2 ? 5x ? 5 ，所以 f ?(x) ? 3x2 ? 2ax ? 5 ，
因为 f (x) 在 x ? ?1 处取得极值，所以 f ?(?1) ? 3 ? 2a ? 5 ? 0 ，所以 a ?1.……………5 分
（II）由（I）可得 f (x) ? x3 ? x2 ? 5x ? 5 ， f ?(x) ? 3x2 ? 2x ? 5 ? (3x ? 5)(x ?1) ，
令 f ?(x) ? 0 ，得 x ? ?1 ，或 x ? 5 .………………………… ………………………………6 分 3
当 x ? ?1，或 x ? 5 时， f ?(x) ? 0 ， f (x) 单调递增； 3
当 ?1 ? x ? 5 时， f ?(x) ? 0 ， f (x) 单调递减. ……………………………………………8 分 3
又 f (?1) ? ?1?1? 5 ? 5 ? 8, f (2) ? 8 ? 4 ?10 ? 5 ? ?1，
所以在区间[?2, 2] 上的最大值为 8 . ………………………………………………………12 分
21.
(1)f (x )的定义域为R
依题意f ?(x ) = 3ax 2 + 2x + b < 0的解集为（- 2 , 0）L L L 2分 3
由一元二次不等式的知识，有
ì???????í?????????
3a > 0
- 2+ 0 3
- 2? 0 3
=
- 2L 3a
b
3a
L
L
4分
解得a = 1,b = 0L L L 5分
(2)由（1）知f (x ) = x 3 + x 2，设切点为Q(m, m 3 + m 2), 切线斜率为k
k = f ?(m ) = 3m 2 + 2m L L L 7分
\ 切线方程为y - (m 3 + m 2) = (3m 2 + 2m )(x - m )L L L 8分
将P (0，0)代入得 - (m 3 + m 2) = - m (3m 2 + 2m )
解之得m = 0或m = - 1 ,L L L 10分 2
代入切线方程得y = 0或x + 4y = 0L L L 12分
22